✨Dạng toàn phương

Trong toán học, một dạng toàn phương là một đa thức với các số hạng có bình phương. Ví dụ

:

là một dạng toàn phương với các biến x và y. Các hệ số thường thuộc một trường K cố định, chẳng hạn như số thực hoặc số phức.

Các dạng toàn phương chiếm vị trí trung tâm trong nhiều nhánh toán học khác nhau, bao gồm lý thuyết số, đại số tuyến tính, lý thuyết nhóm (nhóm trực giao), hình học vi phân (metric Riemann, dạng cơ bản thứ hai), tô pô vi phân (dạng giao của 4-đa-tạp) và lý thuyết Lie (dạng Killing).

Định nghĩa

Một dạng toàn phương trên một trường K là một ánh xạ $q:\; V\; \backslash to\; K$ từ một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K vào K sao cho tồn tại một dạng song tuyến tính $\backslash eta:V\backslash times\; V\backslash to\; K$ thỏa mãn

• $q(u)=\backslash eta(u,u)$

Hệ quả: với mọi $a\backslash in\; K,\; v\backslash in\; V$, $q(av)=a^2q(v)$.

Cụ thể hơn, ta có một biểu diễn dưới dạng đa thức:

: $q(x\_1,\backslash ldots,x$n) = \sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n}a{ij}{x_i}{xj}, \quad a{ij}\in K.

Sử dụng ma trận , ta có thể viết lại công thức trên dưới dạng

: $q(x)=x^\backslash mathrm\{T\}Ax.$

Nếu đặc số của trường K khác 2

• Ma trận hệ số A của q có thể được thay thế bằng ma trận đối xứng .
• Dạng song tuyến tính $\backslash eta$ có thể được tính theo $q$: $\backslash eta(\backslash alpha,\backslash beta)=\backslash frac\{1\}\{2\}(q(\backslash alpha+\backslash beta)-q(\backslash alpha)-q(\backslash beta))$