✨Chân trời

nhỏ|phải|Chân trời trên biển được nhìn ở [[Wisconsin, Hoa Kỳ.]] nhỏ|Một hình ảnh khá độc đáo mà những [[nhà du hành vũ trụ thường gặp. Đường chân trời chia thành các lớp đầy màu sắc, lớp màu da cam là tầng đối lưu, phần trắng chuyển xanh là tầng bình lưu và tầng trung lưu và phần đen phía trên là bóng của vũ trụ.]] Chân trời (hoặc đường chân trời) là một đường có thể nhìn thấy rõ ràng phân cách mặt đất với bầu trời._. Khi đứng từ bờ và nhìn ra biển thì vùng biển gần đường chân trời được gọi là khơi. Trong tiếng Anh, từ _horizon'' có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp "ὁρίζων κύκλος" (horizōn kyklos), "vòng tròn chia cắt", từ động từ "ὁρίζω" (horizō), "chia, tách", và từ "ὅρος" (Oros), " ranh giới, mốc".

Hình thức và ứng dụng

nhỏ|phải|Chân trời trong phép chiếu phối cảnh. nhỏ|phải|Chân trời nhìn từ [[tàu con thoi Endeavour, 2002]] Trước khi loài người phát minh ra đài phát thanh và điện báo thì khoảng cách tới chân trời có thể nhìn thấy ở trên biển là cực kỳ quan trọng vì nó thể hiện phạm vi tối đa có thể truyền tin và tầm nhìn. Thậm chí ngày nay, khi điều khiển một chiếc máy bay theo quy tắc VFR (Vision flight rules), là tập hợp những quy tắc hướng dẫn phi công điều khiển máy bay trong điều kiện thời tiết cho phép có thể dùng mắt thường định vị vị trí, đường đi, né tránh chướng ngại vật của máy bay, thì phi công cũng sử dụng các mối quan hệ trực quan giữa mũi của máy bay và đường chân trời để điều khiển máy bay. Một phi công cũng có thể dựa vào đường chân trời để định hướng không gian.

Trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là phép chiếu phối cảnh trong các bản vẽ, thì độ cong của Trái Đất được bỏ qua và chân trời được xem là một đường thẳng lý thuyết mà tất cả các điểm trên bất kỳ mặt phẳng nằm ngang nào cũng đều hội tụ về đó (khi chiếu lên mặt phẳng hình ảnh) làm tăng khoảng cách từ người quan sát (làm cho người quan sát cảm thấy được độ xa gần của hình ảnh chiếu 3D).

Trong thiên văn học, chân trời là mặt phẳng nằm ngang qua mắt của người quan sát. Nó là mặt phẳng cơ bản của hệ tọa độ chân trời và là quỹ tích các điểm có độ cao 0 độ.

Khoảng cách đến chân trời

Bỏ qua ảnh hưởng của sự khúc xạ trong khí quyển, thì khoảng cách từ 1 người quan sát trên mặt đất đến chân trời, là khoảng: :$d\; \backslash approx\; 3.57\backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,,$ trong đó, d tính bằng km, h là độ cao so với mực nước biển tính bằng m.

Ví dụ: Đối với một người quan sát đứng trên mặt đất với h=1.70m (5 ft 7in), đường chân trời ở khoảng cách 4.7 km (2.9 dặm). Đối với một người quan sát đứng trên mặt đất với h = 2 m (6 ft 7 in), đường chân trời ở khoảng cách 5 km (3.1 dặm). Đối với một người quan sát đứng trên một ngọn đồi hoặc tháp cao 100 mét (330 ft), đường chân trời ở khoảng cách 39 km (24 dặm). Đối với một người quan sát đứng ở đỉnh của tòa nhà Burj Khalifa cao 828 mét (2.717 ft), đường chân trời ở khoảng cách 111 km (69 dặm).

Với d tính bằng dặm, h tính bằng feet, thì :$d\; \backslash approx\; 1.22\backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,.$

Công thức hình học

nhỏ|phải|Công thức cát tuyến và tiếp tuyến của đường tròn. nhỏ|phải|[[Định lý Pytago|Định lý Pythagore.]] nhỏ|phải|Ba loại chân trời. Nếu giả định Trái Đất là một hình cầu không có khí quyển thì ta có thể dễ dàng tính ra khoảng cách từ người quan sát tới chân trời. (Bán kính cong của Trái Đất thực sự thay đổi 1%, do đó công thức này là không chính xác thậm chí đã giả sử là không có sự khúc xạ.) Theo công thức liên hệ giữa tiếp tuyến và cát tuyến trong đường tròn, ta có: :$\backslash mathrm\{OC\}^2\; =\; \backslash mathrm\{OA\}\; \backslash times\; \backslash mathrm\{OB\}\; \backslash ,.$ Trong đó: d = OC = khoảng cách đến chân trời D = AB = đường kính của Trái Đất h = OB = độ cao của người quan sát so với mực nước biển. D+h = OA = đường kính + độ cao người quan sát. Phương trình trở thành: :$d^2\; =\; h(D+h)\backslash ,!$ hoặc :$d\; =\; \backslash sqrt\{h(D+h)\}\; =\backslash sqrt\{h(2R+h)\}\backslash ,,$ R là bán kính Trái Đất.

Ta cũng có thể sử dụng định lý Pythagore trong trường hợp này để tính khoảng cách đến chân trời. Do tia nhìn của người quan sát tiếp tuyến với đường tròn Trái Đất cho nên nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, tạo nên 1 tam giác vuông với cạnh huyền là tổng bán kính với độ cao của người quan sát so với mực nước biển. Với: d = khoảng cách đến đường chân trời h = chiều cao của người quan sát so với mực nước biển *R = bán kính của Trái Đất Theo định lý Pythagore, ta có: :$(R+h)^2\; =\; R^2\; +\; d^2\; \backslash ,!$ :$R^2\; +\; 2Rh\; +\; h^2\; =\; R^2\; +\; d^2\; \backslash ,!$ :$d\; =\; \backslash sqrt\{h(2R\; +\; h)\}\; \backslash ,.$ Một phương trình thể hiện sự tương quan giữa độ dài cung tròn s với góc mở γ tính bằng radian: :$s\; =\; R\; \backslash gamma\; \backslash ,;$ mà: :$\backslash cos\; \backslash gamma\; =\; \backslash cos\backslash frac\{s\}\{R\}=\backslash frac\{R\}\{R+h\}\backslash ,.$ Thế vào, ta có: :$s=R\backslash cos^\{-1\}\backslash frac\{R\}\{R+h\}\; \backslash ,.$

Lại có: :$\backslash tan\; \backslash gamma\; =\; \backslash frac\; \{d\}\; \{R\}\; \backslash ,;$

Thế vào phương trình trên:

:$s=R\backslash tan^\{-1\}\backslash frac\{d\}\{R\}\; \backslash ,.$ Khoảng cách d và độ dài cung tròn s là gần bằng nhau vì độ cao h rất bé so với bán kính R (h ≪ R)

Những công thức hình học gần đúng

nhỏ|right Nếu người quan sát đứng ở vị trí gần với mặt đất, thì độ cao h trong tham số có thể bỏ qua, khi đó công thức trở thành: :$d\; =\; \backslash sqrt\{2Rh\}\; \backslash ,.$ Với giá trị của bán kính Trái Đất là 6371 km thì khoảng cách đến đường chân trời là: :$d\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{12.74h\}\; \backslash approx\; 3.57\backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,,$ với d được tính bằng km, h là độ cao tính từ mực nước biển đến mắt của người quan sát với đơn vị đo lường là mét. Nếu sử dụng hệ thống đơn vị của Anh, thì khoảng cách đến đường chân trời là: :$d\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{1.50h\}\; \backslash approx\; 1.22\; \backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,,$ với d tính bằng dặm, h tính bằng feet. Những công thức trên được sử dụng khi độ cao h rất bé nếu so với bán kính Trái Đất (6.371 km), kể cả khi người quan sát đứng ở trên 1 đỉnh núi, trên máy bay hoặc khinh khí cầu. Với các hằng số đã xác lập thì những công thức này có sai số trong phạm vi khoảng 1%.

Công thức tính chính xác với giả định Trái Đất là hình cầu

Nếu độ cao h là đáng kể so với bán kính R, như khi quan sát từ các vệ tinh, thì cần phải có công thức tính chính xác: :$d\; =\; \backslash sqrt\{2Rh\; +\; h^2\}\; \backslash ,,$ Với R là bán kính Trái Đất (R và h phải tính cùng 1 đơn vị đo lường. Ví dụ, nếu vị tinh ở độ cao 2000 km, thì khoảng cách đến đường chân trời là ; nếu ta bỏ qua tham số h thì sẽ cho 1 kết quả là với sai số lên đến 7%.

Những đối tượng quan sát được ở trên đường chân trời

nhỏ|phải|Khoảng cách hình học đến đường chân trời Để tính toán chiều cao của một đối tượng có thể nhìn thấy trên đường chân trời, với giả thuyết đối tượng quan sát được là đỉnh của một vật thể thì ta tính được khoảng cách từ đỉnh đó đến đường chân trời, sau đó thêm kết quả này vào khoảng cách từ người quan sát đến đường chân trời. Ví dụ, một người quan sát với chiều cao 1,70 m đứng trên mặt đất, khoảng cách từ người đó đến đường chân trời là 4,65 km. Đối với một tháp với chiều cao 100 m, khoảng cách từ đỉnh tháp đến đường chân trời là 35,7 km. Vì vậy, một người quan sát trên một bãi biển có thể nhìn thấy tháp miễn là nó cách người quan sát không xa hơn 40,35 km. Ngược lại, nếu một người quan sát trên một chiếc thuyền (h = 1,7 m) chỉ có thể nhìn thấy ngọn cây cao 10m trên một bờ biển gần đó nếu cây này cách người quan sát trong khoảng 16 km. Theo hình bên phải, người trên thuyền chỉ có thể nhìn thấy được ngọn hải đăng nếu như: :$D$\mathrm{BL} < 3.57\,(\sqrt{h\mathrm{B + \sqrt{h_\mathrm{L) \,, với D_BL tính bằng km, h_B và h_L tính bằng m. Nếu không bỏ qua khúc xạ khí quyển, thì điều kiện về tầm nhìn trở thành: :$D$\mathrm{BL} < 3.86\,(\sqrt{h\mathrm{B + \sqrt{h_\mathrm{L) \,.

Ảnh hưởng của sự khúc xạ khí quyển

Do các tia sáng bị khúc xạ khí quyển, nên khoảng cách thực tế của đường chân trời thấy được (tầm nhìn) sẽ lớn hơn khoảng cách tính toán với công thức hình học. Với những điều kiện tiêu chuẩn của khí quyển, sự sai lệch là khoảng 8%, tuy nhiên, sự khúc xạ bị ảnh hưởng bởi gradient nhiệt độ, thay đổi đáng kể hàng ngày, đặc biệt là trên mặt nước, do đó, giá trị tính toán cho sự khúc xạ chỉ xấp xỉ. :$d=\}\backslash left(\backslash psi\; +\backslash delta\; \backslash right)\; \backslash ,,$ với R_E là bán kính Trái Đất, ψ là độ nghiêng (võng) của đường chân trời và δ là độ khúc xạ của đường chân trời.

Độ nghiêng được tính dễ dàng bằng công thức: :$\backslash cos\; \backslash psi\; =\backslash frac\}\}\{\backslash left(\}+h\; \backslash right)\backslash mu\; \}\; \backslash ,,$ với h là độ cao của người quan sát so với mặt đất, μ là chỉ số khúc xạ của không khí ở độ cao của người quan sát, và μ₀ là chỉ số khúc xạ của không khí ở bề mặt Trái Đất.

Độ khúc xạ δ của đường chân trời tính bằng công thức: :$\backslash delta\; =-\backslash int\_\{0\}^\{h\}\{\backslash tan\; \backslash phi\; \backslash frac\{\backslash text\{d\}\backslash mu\; \}\{\backslash mu\; \backslash ,,$ với $\backslash phi\backslash ,!$ là góc tạo bởi tia sáng với đường thẳng nối với tâm của Trái Đất. Góc ψ và $\backslash phi\backslash ,!$ tương quan với nhau theo công thức: :$\backslash phi\; =90\{\}^\backslash circ\; -\backslash psi\; \backslash ,.$

Phương pháp gần đúng—Young
Có thể tính gần đúng bằng công thức đơn giản hơn sử dụng . Khoảng cách đến đường chân trời là: :$d=\backslash sqrt\{2\; R^\backslash prime\; h\}\; \backslash ,.$ Lấy bán kính Trái Đất là 6371 km, với d tính bằng km và h tính bằng m, :$d\; \backslash approx\; 3.86\; \backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,;$ với d tính bằng dặm và h tính bằng feet, :$d\; \backslash approx\; 1.32\; \backslash sqrt\{h\}\; \backslash ,.$ Kết quả tính bằng phương pháp Young gần đúng với kết quả từ phương pháp Sweer, với sai số có thể chấp nhận được.